DES INTÉGRALES DEFINIES. 5^5 



Considérons l'expression 



'^ —a "J —a •- I 



le second membre de l'équation (2) sera la valeur de X qui 

 répond à la limite oii la différence i — a est infiniment pe- 

 tite ; ainsi il s'agit de faire voir qu'à cette limite on a X =fx, 

 pour X > — a et < a. 



Or, en développant suivant les puissances de a, on a , en 

 série convergente , 



00 . / ,% 

 = 1+22 a COS. — !^ ; 



I — 2 a COS. —i i+a' I 



on aura donc 



'-' —a I - 



[i — a.'^)fx'dx' 

 1 a COS. — ^ ' + a 



Le coefficient de dx' sous le signe intégral , devient infini- 

 ment petit en même temps que i — a , excepté pour les va- 

 leurs de x' qui rendent cos. ^^"^ ^ ' infiniment peu diffé- 

 rent de l'unité, et, par conséquent, le dénominateur aussi 

 infiniment petit. Mais x étant > — 12 et < a, et la variable 

 x' ne sortant pas non plus de ces limites, cette circonstance 

 nepeutavoir lieu que pour des valeurs de x' — x, infiniment 

 petites, positives ou négatives; il suffira donc d'étendre l'in- 

 tégrale aux valeurs de x' infiniment peu différentes de x ; et 

 dans cette étendue, on pourra considérer la fonction fx' 



