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vënient en prenant une autre valeur pour la différence « qui 

 peut être aussi petite que l'on voudra. 



(8) La formule d'Euler se trouve en défaut dans un autre 

 cas, ainsi que M. Legendre en a fait la remarque à la fin de 

 son traité des Fonctions elliptiques (i). Ce cas a lieu lorsque 

 les différentielles impaires àefx s'évanouissent, ou, plus 

 généralement, sont égales aux deux limites de l'intégrale 

 que l'on considère. Quelle que soit la quantité w, l'équa- 

 tion (6) se réduirait alors à 



/ fxdx = iùVn', 

 ^ o 



d"o{i il résulterait que l'intégrale proposée s'exprimerait sous 

 forme finie, et que sa valeur dépendrait du nombre arbi- 

 traire n , ce qui serait absurde. Mais ce résultat provient de 

 ce que l'on a négligé le reste R,„, qui, dans ce cas particu- 

 lier , au lieu de décroître à mesure que m augmente , est au 

 contraire indépendant de la grandeur de ce nombre. En 

 effet, en intégrant par partie, et observant qu'on a, par 

 hypothèse , 



/■d^'"-^'fx\ r d'"'-*-'/^ ! 



\dx"^-^' ) L dx'"^' J ' 



la formule (8) donnera 



et si l'on compare cette expression à la formule (7) dans la- 

 (i) Tome 11 , page SyS. 



