DES INTÉGRALES DEFINIES. 58g 



(Juelle on augmentera m. d'une unité , on en conclura 

 R , =R ; 



c'est-à-dire , que le reste ^m est constant par -rapport au 

 nombre m. 



Dans ce cas singulier , si — est une fraction , le facteur 

 /iù\7.m ^^^ ^^ ^,^^^g renferme, diminue indéfiniment à 



mesure que m augmente; mais en même temps l'autre fac- 

 teur augmente à raison des différentiations successives de 

 fx , de telle sorte que le produit demeure constant. Cepen- 

 dant, il n'en sera pas de même à l'égard de la limite supé- 

 rieure à Rm que l'on pourra assigner; elle dépendra de m, 

 et décroîtra d'autant plus rapidement avec u que ce nombre 

 m sera plus grand. 



{9) Nous choisirons pour exemple de cette anomalie, l'in- 

 tégrale qui donne le quart de la circonférence d'une ellipse, 

 que nous appellerons E. En prenant pour unité le demi- 

 grand axe, et désignant l'excentricité par h, nous aurons 

 alors 



E=/ l/i— A'siii.": 



o 



on fera donc , dans l'équation (6) , 



IX , 



et il est évident que tontes les différentielles impaires Aefx 

 seront nulles aux deux limites a7 = o et x^=-, t:, à cause du 

 facteur sin.xcos. j? dont elles seront affectées. 



