DES INTÉGRALES DÉFINIES. 6o I 



sin.xdx 



J 



l/i — 2 a COS. a; -I- a* 



dans laquelle a est une constante positive ; et convenons de 

 regarder le radical contenu sous le signe /, comme une quan- 

 tité positive dans toute l'e'tendue de l'intégration. Il faudra 

 prendre pour sa valeur, i +a à la limite a;=Tr, et i — a 

 ou (2 — I à la limite x= o , selon qu'on aura a < \ ow a > \. 

 D'après cela , on trouve ces deux expressions différentes : 



/: 



&\x\.ûcdx 



\y \ — 2 a COS. x-\-a 



^ = 2, OU = 



a 



L 



la première ayant lieu dans le cas de a < i , et la seconde 

 dans le cas de « > i ; et si l'on différentie cette intégrale 

 par rapport à (2 , on aura , dans les mêmes cas , cet autre 

 exemple : 



(a — cr)S.x\ûxi.xdx 2 



^ >. ^ = o , ou = - • 



o (i — aa COS. a:-f- «') » 



Il est à remarquer que si l'on fait «= i , les deux valeurs 

 de la première intégrale sont égales, mais non pas celles 

 de la seconde. Dans ce cas particulier, la dernière intégrale 

 a pour valeurs zéro ou 2 , selon qu'auparavant on regardait 

 a comme plus petit, ou comme plus grand que l'unité. Ce 

 paradoxe tient à ce que les deux valeurs que l'on détermine 

 de cette manière, sont celles qui répondent à la différence 

 I — a infiniment petite, positive ou négative, et qu'à cette 

 limite, un changement infiniment petit dans la valeur de 

 I — a, suffit pour produire un changement brusque dans 

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