6o4 DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS 



les intégrales définies prises entre des limites imaginaires , 

 et remplaçant, à l'aide de ces formules, les sinus ou cosinus 



renfermés sous le signe / par des exponentielles dans les- 

 quelles les parties variables des ex posants sont négatives. Ajou- 

 tons que l'emploi des mêmes formules fournit le moyen de 

 substituer, dans certains cas, à la série qui représente le 

 développement d'une fonction une intégrale définie, et que 

 cette substitution produit de nouvelles équations fort remar- 

 quables dont on peut se servir avec avantage dans les ques- 

 tions de physique mathématique. 



Pour montrer une explication de ces principes, considé- 

 rons la série 



(0 / f{\!)d^.-^^i co&.^{x—^).f{^)d^ + ^\ cos.^(j;— i.)./(f;.)rff. + etc. 



Il est facile de reconnaître i° que la fonction représentée 

 par cette série ne varie pas, quand on fait croître ou dimi- 

 nuer X d'un multiple de a ; a" que cette fonction, entre les 

 limites a^ = o,a;=a, est équivalente au produit cif[x). En 

 effet , si l'on désigne par e un nombre infiniment petit , et 

 si l'on pose 6 = 1 — e, la série (i) pourra être remplacée par 

 la suivante 



f{^.)d^.+ e /{i,.)di, + U e" /(|0^/p. + etc. 



+ / e /([x)rf(x-+-6/ e /((/.)d^(y.-+-etc. 



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