PARTIE MATHÉMATIQUE. Xllj 



les cinq équations différentielles, de manière que pour x=:Xo^ 

 on ait j=joi z^Zo, u^^Uo, q=qo, r^J'o^fo-, Zo désignant 

 deux nouvelles variables, Uq une fonction arbitraire de ces 

 mêmes variables , semblable à la fonction arbitraire de j et 

 de z, qui représente la valeur de u pour a;=:,ro, et Ço, 'o les 

 deux dérivées partielles de Uq relatives à jo et à Zo- Si, entre 

 les cinq équations intégrales ainsi obtenues , on élimine q 

 et r, il ne restera plus que trois formules, dont le système 

 sera propre à représenter l'intégrale générale de l'équation 

 aux différences partielles. Ces trois formixles renfermeront 

 les quantités variables x, y, z, u; la quantité constante Xo^ 

 les deux nouvelles variables jo, Zq, et la fonction arbitraire 

 de ces nouvelles variables représentée par «o i ainsi que ses 

 dérivées du premier ordre relatives à jo et à Zo. Ce n'est 

 qu'après avoir fixé la fonction arbitraire dont il s'agit, qu'on 

 pourra, en éliminant les nouvelles variables ^01 Zoi obtenir 

 l'équation finie qui détermine u en fonction àe x , y , z. 



Rien n'empêche de conserver dans le calcul, avec les quan- 

 tités variables x, y, z , u, q, r , la quantité/»; si l'on observe 

 d'ailleurs qu'on peut échanger entre elles, relativement aux 

 rôles qu'elles jouent, les variables indépendantes .r, y, z, on 

 obtiendra , par l'intégration générale d'une équation aux dif- 

 férences partielles à trois variables indépendantes, et même 

 à un nombre quelconque de variables , la règle qui suit : 



Substituez , par les moyens ordinaires , à l'équation aux 

 différences partielles donnée, autant d'équations différen- 

 tielles du premier ordre (moins une) qu'elle renferme de 

 quantités variables, y compris les variations indépendantes, 

 la fonction inconnue et ses dérivées partielles. Les variables 

 indépendantes seront traitées symétriquement dans les équa- 



