PARTIE MATHÉMATIQUE. XXXIX 



niers : en sorte que l'angle aigu ne se trouve nullement dans 

 l'hexaèdre, et que, dans les trois autres corps, il est l'angle 

 entre une face et le prolongement de la face voisine. Or la 

 moitié des de'monstrations d'Hypsicle est employée à déter- 

 miner l'esp"ce de l'augle, tandis que les constructions d'Isi- 

 dore donnent toujours l'angle véritable, soit aigu, soit obtus, 

 et qu'il est impossible de jamais s'y tromper. 



On pourrait ajouter que ces démonstrations, quoique dif- 

 férentes pour chacun des cinq corps, dépendent cependant 

 d'une considération unique, qui les éclaircirait, même indé- 

 pendamment de la figure en relief Le principe consiste à 

 imaginer, dans chaque solide, une ligne qui serve de base 

 commune à deux triangles isoscèles, dont les côtés sont con- 

 nus. Dans un de ces triangles, l'angle au sommet est tou- 

 jours connu; dans l'autre, il est l'inclinaison que l'on cherche : 

 il en résulte une relation fort simple entre les cosinus des 

 deux angles ; et si l'on applique à ces triangles une des règles 

 de notre trigonométrie moderne , on en tire aussitôt une 

 équation identique à celle que fournit directement la trigo- 

 nométrie sphérique. 



' Mais cette règle moderne était absolument ignorée d'Eu- 

 clide, d'Isidore et d'Hypsicle, qui, dans la solution très-dé- 

 fectueuse qu'il nous a donnée ailleurs d'un problème résolu 

 à-peu-près dans le même temps par Hipparque, nous a laissé 

 une preuve palpable de son ignorance complète en l'une et 

 l'autre trigonométrie. 



C'est une chose assez remarquable, que cette théorie dés 

 corps réguliers, si embarrassée et si imparfaite chez les Grecs 

 et leurs continuateurs, dépende tout entière d'un triangle 

 sphérique rectangle, tracé à la surface de la sphère à laquelle 



