122 SUR LES EQUATIONS 



équations n'est point intégrable sous forme finie, en em- 

 ployant les seules variables qu'elles contiennent. Pour ob- 

 tenir leurs intégrales sous cette forme, on a imaginé de 

 chercher à les exprimer par des intégrales définies, relatives 

 à des variables auxiliaires qui ne sont pas celles de la ques- 

 tion ; et ce nouveau champ, ouvert aux recherches des géo- 

 mètres, a fourni le moyen, sinon de compléter, du moins 

 d'étendre les procédés d'intégration. 



Euler avait déjà indiqué l'usage des intégrales définies, 

 pour intégrer, sous forme finie, les équations différentielles 

 ordinaires qui résistent aux méthodes connues, telles que, 

 par exemple, l'équation de Riccati dans les cas de non inté- 

 grabilité proprement dite. M. Laplace a pensé le premier à 

 étendre ce procédé aux équations linéaires aux différences 

 partielles ; et il a intégré , de cette manière , l'équation 

 du second ordre, à deux variables indépendantes, dans le 

 cas où tous les coefficients sont constants , et dans un autre 

 cas particulier. Les expressions qu'il a trouvées ne contien- 

 nent que des intégrales simples; mais les quantités qui mul- 

 tiplient les fonctions arbitraires sous le signe intégral, ne 

 sont pas données explicitement : elles dépendent d'équa- 

 tions différentielles ordinaires, qui ne peuvent elles-mêmes 

 s'intégrer que par des intégrales définies; en sorte que ces 

 expressions contiennent réellement des intégrales définies 

 doubles, ainsi qu'on peut le voir dans l'ouvrage de M. La- 

 croix , où sont exposées les différentes méthodes d'intégra- 

 tion employées jusqu'ici. 



Depuis l'époque où M. Laplace a publié ces résultats (*), 



(*) Mémoires de l'Académie, année 1779. 



