AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 127 



un rayon quelconque de la sphère, et v l'angle dièdre, com- 

 pris entre le plan de ces deux droites et le plan fixe ; appe- 

 lons to l'ëlëment de la surface sphérique, qui répond à l'ex- 

 tre'mité de ce rayon : nous aurons 



et l'intégrale double, d'après ses limites, s'étendra à tous les 

 points de cette surface. Supposons encore que les constantes 

 u' etv' soient les valeurs de m et i;, qui répondent à un 

 rayon déterminé de la sphère ; soit 6 l'angle compris entre 

 cette droite et le rayon quelconque, correspondant aux angles 

 u et v; la formule fondamentale de la trigonométrie sphé- 

 rique donnera 



COS. 9=coj. u' COS. u + COS. {v'—v) sin. u' sin. u; 

 et l'on aura ensuite 



^=JJf{pcos.^)d,^. 



Ainsi cette quantité P représente la somme de tous les élé- 

 ments de la surface sphérique, multipliés chacun par une ' 

 fonction donnée du cosinus de l'angle compris entre son 

 rayon et un rayon déterminé de position. 



Cela posé, si l'on désigne par ^ l'angle dièdre compris 

 entre le plan de ces deux rayons et un plan fixe, mené arbi- 

 trairement par le rayon déterminé, on pourra employer les 

 deux angles ^ et 9 au lieu de ^ et i^, à la détermination du 

 rayon variable, et exprimer l'élément d^ de la surface au 

 moyen de leurs différentielles; on aura alors 



dbi=^sia.Hd(id^^ 

 et, par conséquent, 



