laS SUR LES ÉQUATIONS 



P = ll/{pcos.^)sin.lidbd^. 



Pour étendre l'intégrale à la surface entière de la sphère, 

 il faudra la prendre depuis 6 = jusqu'à G = 7r, et depuis 

 !}/ = o jusqu'à (Ji^aTc; l'inte'gration relative à ij* s'effectue 

 immédiatement ; et en remettant pour P ce que cette lettre 

 représente, nous aurons 



1 1 /"(gcos.u+hsin.u sm.v-\-k sin. u cos. v) sin. u du dv 



=:2t: //{pcos. 6) sin.^ d^; (i) 



d'où il résulte que l'intégrale double que nous considérons, 

 se réduit, quelle que soit la fonction y, à une intégrale 

 simple , et que sa valeur ne sera fonction que de la quan- 

 tité p, laquelle est égale à \yg' + /i' + k\ 



(3). En prenant pour la fonction _/" une puissance quel- 

 conque m, on aura 



/ / {gcos. u-\-h sin. u sin. v -^ k sin, u cos. v )" sin.u du dv 



et si l'on désigne par n un nombre entier positif, et qu'on 

 fasse successivement TO=2ra+ i, m=2.n, il en résultera 



Il {gcos. u+h sin.u sin. v~\-li sin.u cos.v) sin.u du dv=o.i 1 



j I (gcos.u+hsin.usin.v+ksin.'ucos.v) sin.u du dv= — —-•) 



Les éléments de la première de ces deux intégrales doubles 

 sont deux à deux égaux et de signes contraires ; l'intégrale 



