SUR LES ÉQUATIONS 120 



doit donc être nulle, comme nous la trouvons. Quant à la 

 seconde équation (2), on peut aussi la vérifier en dévelop- 

 pant la puissance ara du trinôme contenu entre les paren- 

 thèses , et effectuant ensuite les intégrations. 



En partant des équations (2), on pourra démontrer l'é- 

 quation ( I ) , mais pour le cas seulement où la fonction / 

 indique une fonction rationnelle et entière (*), ou, du moins, 

 une fonction qui soit réductible en série convergente, or- 

 donnée suivant les puissances positives et entières de il va- 

 rfable. La démonstration que nous venons de donner de 

 cette formule, est à-la-fois plus simple et plus générale. 



Observons encore que, par des différentiations relatives 

 aux quantités g, h, h, on déduira de 1 équation ( i) une in- 

 finité d'autres formules de la même nature. Ainsi, en diffé- 

 renciant une première fois par rapport à l'une de ces trois 

 quantités, et mettant une fonction F à la place du coefficient 

 différentiel de/, on aura 



y /F (g- COS. u + h sin. u sin. v + k sin. u cos. v ) cos. u sin. u du dv 



=-~p''j^{pcos.'^)cos.^sin.hd^^ 



jp igcos.u + hsin.usm.v^ksm.ucos.'v)sm.^usin.'vdud'v 



"* ~J r {pcos.b) COS. 6 sm.Q </9, 



JjF {gcos.u + h sin.usin.v + k sin.ucos.v) sin.'ucos.v dudu 



= ~J-J F ip cos. 6 ) cos. 6 sin .H d&; 



{ *) Ejcercices de calcul intégral, 5' partie , pag. 273. 

 1010. 



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