AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. l33 



donc, en remettant pour a sa valeur, nous aurons 

 c ^^/{x+oLt cos.ii, y+at sin.usin.v, z+atsin.u cos.v)^ 



et, par conséquent, 

 !!=■ — j l f(^x+at cos.u, y+at sin.u sin.'v, 



z-^at sin. u cos.v) t sin. u'du dv. 



En faisant de même \]^=¥ {x, y, z) , et désignant par T' 

 la somme de la première série contenue dans la valeur de 

 9 , on aura 



T'= , / / F {x+at cos.u, y+at sin. u sin.'v, 



z+at sin.u cos.v) t sin.u du dv; 



donc , en comprenant le diviseur 4 f dans les fonctions ar- 

 bitraires/" et F, il en résultera, pour l'intégrale complète de 

 l'équation (3), 



■-IM 



[x + at cos.u, y + atsm.usm.v, 



z + at sin. u cos. v) t sin. u du dv 



^d~t 1 1 ^ {x; + at cos.u, y + at sin. u sin.v , 



z + at sin. u COS. v) t sin.u du dv; 



les limites des intégrales définies étant toujours ^^=o, tt=ir, 

 et 1» = 0, V^2.t:. 



Cette forme d'intégrale est aussi simple qu'on puisse le 

 désirer , eu égard au nombre des variables de l'équation à 

 laquelle elle répond : elle a, en outre, l'avantage que les 

 deux fonctions arbitraires/" et F s'y déterminent immédia- 

 tement, d'après les valeurs initiales de ç et -^j car, en fai- 



