l34 SUR LES ÉQUATIONS 



sant ?=o, on a simplement 



ç = 47rF(a;, J, Z), -^ = l\r.f{x,y,Z). 



(5) Nous pouvons mettre .l'intégrale de l'équation (3) 

 sous une forme plus symétrique, par rapport aux trois va- 

 riables X, y, z, en l'écrivant ainsi : 



ip= 1 1 /(x+at cos.u, j+at cos.u', z+at cos.u") tdut 



-\- -j: I f F (x+at cos.u, y+at cos.ii', z+at cos.u") tdu. 



Pour effectuer les intégrations, on prendra indifférem- 

 ment l'un de ces trois systèmes de valeurs : 



cos.u' =:sin. u sin.v , cos. u"=sin. u cos. v, diù=sin. u du dv; 

 COS. u = sin.u' sin.v' , cos.u"=^siri.u' cos.v' , d(ii=-sm.u' du' dv' ; 

 COS. u = sin.u" sin.v", cos.u' = sin.u" cos.v", doi=sùi.u" du" dv" ; 



et dans le premier cas, on intégrera depuis u = o et t; = o, 

 jusqu'à M=TC et 'W=2ir; dans le second, depuis u' = o et 

 v'=o, jusqu'à ?f' = ir et i''=2-7t; enfin dans le troisième, 

 depuis u'=o et v"=o., jusqu'à u":^% et-w^^air. Sous cette 

 forme, on peut vérifier, sans développer la valeur de 9 sui- 

 vant les puissances de t, qu'elle satisfait à l'équation (3). 



En effet, supposons d'abord que cette valeur de <p ne con- 

 tienne que la partie dépendante de la fonction/'; en diffé- 

 renciant par rapport à t, on aura 



^ = ff/.d o>+a IJ-j^ t COS. u f/,., 



+ Cl j l -j-tcos. u' dw + n 1 1 ~-t COS. u" du : 



