AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. l35 



différenciant de même une seconde fois, il vient 

 -^^^za 1 1 -j^ cos.ii cl ta + 2a 1 1 -J-cos. u' d<a + 2,a I j ^ COS. u" dta 



+ a' 1 1 -r—^tcos." udb> + a' I l-j^Jcos.' u' d<a+a' 1 j jf^tcos.' u" da 



-h 2 a' 1 1 , j tcos.u cos.u' d(ù-\-2.a' l 1 j — —- tcos. ucos.u" dm 

 J J dx dy J J ax dz 



■"■//-. 



dj dz 



t cos.u' cos.u d 



(■>. 



Or, si l'on prend d(a = sin.u du dv, et qu'on intègre par 

 parties relativement à u, on aura 



2 / -r- COS. u sin. u du = -r^ sin. ' u + at l -r-^^ sin. ' u du 

 J dx dx J dx 



— at l -, — -^cos.u sin^u sin.v du — atl-, — "^ cos.u sin.' ucos.v du: 

 J dx dj J dx dz 



aux deux limites «=o et m=tc, le premier terme de cette 

 valeur est nul ; en le supprimant et prenant l'inte'grale double, 

 on aura donc 



a i i-^ cos.u diù=at 1 1 ^-^^sin.' u d(ù — at 1 j ^ — ^ cos.u cos.u' doi 



— «^^ / I J J COS. u COS. u" db). 

 J J dx dz 



On trouvera de même 

 2 // -^cos.u' dui=at j j -j^^sin.'u' dm — at j j . -^ cos.u' cos.u dm 



— at j j -T—j- cos.u cos.u dm., 



2 jj -J^-cos.u" dm=at l j -—-^sin.' u" dm — at j l-j-~-cos.u" cos.u dm 



— \\ d'rd ^'^^•^ cos.u dm] 



