AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. l5j 



l'intégration relative à v s'effectue immédiatement, en sorte 

 qu'on a 



(f = 2% 1 1 y(x + at cos.u) tsin.u du 



+ 2Tr-T^ f I F [x + at COS. u) t sin. u du; 



de plus, si l'on ià\\. fx dx^df^x, Y x dx^=^dY ^x, on 

 aura, en intégrant par rapport à u, depuis m = o jusqu'à 



« = ir. 



j /"(x + at cos.u) tsin. u du^=-f^ (^x — at) /] {x-y-at), 



/F (^x + at cos.u) tsin.u du=-¥^ (^x — at) F^ [x + at); 



et par conséquent 



(j;=-^-(/^ {x — at)—f^ {x+at) + F, (a; — at) — F^ (x+at)\ ; 



ou bien , en réunissant les termes semblables , 



(f=Jbnct. (x — at) + Fond, (^x-i- at); 



ce qui est effectivement l'intégrale connue de l'équation (4)- 



Lorsque 9 n'est fonction que de t et der, l'équation (3) 

 devient 



si on la multiplie par r, elle prend la forme : 



d". r<sf ^d'. r(^ 



et en la comparant à l'équation (4)i on voit que son inté- 

 grale doit être 



r<sfZ=^fonct. (r — at) + Fonct. {r+at). 

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