l38 SUR LES ÉQUATIONS 



Or, si l'on fait, dans ce cas, f{oc, y, z)=fr, "F^X/y, z) 

 = 'Fr, et, pour abréger, 



{^x + at cos.uy -¥ {^y+atsin.usin.vY+ {z + at sin.ucos.v)' 

 =r' +Q.at (,r cos. it+y sin. u sin. v + z sin. u cos. v) -ha' t'^^^'y 



les fonctions arbitraires, contenues sous les signes d'inté- 

 gration dans l'intégrale générale, seront^p et Fp, et cette 

 intégrale deviendra 



9= j I f^.t sin.u du dv + ji f 1 ^ ^.t sin.u du dv. 

 En vertu de l'équation (i), nous aurons 



{ i f^.t sin.u du dv = ZT: jj'f'. tsin.^ do, 



en faisant 



7-' + ia tr cos.O + a" f' = p' % 



et intégrant depuis e=o jusqu'à G=7r. Si l'on différencie 

 cette valeur de p'' par rapport à ô, on aura 



— Q.at r sin. db = z f' d f' ; 



par conséquent , l'équation précédente deviendra 



I Iff.tsùi.u du r/y= /./p'- p' d/; 



donc, en faisant p'yp' rfp' = /^.y^ p', et observant qu'on a 

 f'^=r + at, f'=r — at, aux deux limites 6=o, G = tt, on 

 en conclura 



1 jy.f.t sin.u du dv^— (f^[r-\-at) — f^(^r — «') )• 



Je'substitue la fonction F à/"; et en différenciant par rap- 

 port à t, il vient 



- ffFf.tsin.ududv = ~ f(r+at)F(r+at) + (/• — at)F(r — at)\ 



