AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. l45 



La fonction arbitraire/^ se détermine immédiatement, au 

 moyen de la valeur initiale de la quantité ç; car, en faisant 

 t=o, on a 



(o^==f(x, y, z) e e e ^ da dS dy, 



et à cause que 



je dct=le dê= le ^ dy=]y^, 



il en résulte 



f=Tz\y^f(x,y, z). 



(lo) Nous donnerons à l'intégrale que nous venons de 

 trouver une forme différente et plus appropriée à certaines 

 questions, en faisant, 



u = s cos.u, ê=s sin.u sin.v, yr=s sin.u cos.v. 



D'après les règles connues sur la transformation des inté- 

 grales multiples , nous aurons 



da. dS dy=s' sin. u ds du d'v ; 



la valeur de ç deviendra 



=///■ 



e f (x-^is\/ at cos.u, y-\-'xs\/atsin.usin.v, 

 z + vt-sX/lït sin.u COS. v\ s" sin. u ds du dv ; 



et les intégrales relatives aux nouvelles variables s, u et v , 

 devront être'prises depuis .j=o, v=:=o^ m=o, jusqu'à j=- , 

 m=:tc, i'=2x. En effet, si nous considérons a, ê, y, comme 

 les trois coordonnées rectangulaires d'un point quelconque 

 de fespace, s , u, v seront les trois coordonnées polaires du 

 même point; et comme l'ijitégrale triple, relative aux pre- 

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