AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. l65 



et alors son intégrale complète aura la forme : 



<^=ffe'' ^'' ""■''""■" F' {t + x]X^ COS. u) xsin.u du dv 



+ ^^j^ffe''^^ ""■'''"'■"' f {t-^xV^cos.u) xsinududv; 



les limites des intégrales étant toujours les mêmes cjue pré- 

 cédemment, et/' et F' désignant les deux fonctions arbi- 

 traires. Ces fonctions se détermineront , dans ce cas , au 

 moyen des valeurs de 9 et -^^, qui répondent à x^o ; car, 

 pour cette valeur de x, on aura 



(21) Si l'on veut vérifier si la valeur de i/ satisfait à l'équa- 

 tion (i3), on suivra la même marche que dans le n° 5 : on 

 considérera seulement la partie de cette valeur cjui dépenfl 

 de la fonction F , et on l'écrira sous cette forme : 



t \/'b COS. h' 



'=ff^ 



F {x H- t\Xa cos.u) t d<,>. 



Pour effectuer les intégrations , on prendra à volonté l'un 

 ou l'autre de ces deux systèmes dé valeurs : 



COS. u ' = sin . u sin .v, dm^ sin. u d u du ; 

 COS. u =sin.u' sin.v', dhi=^sin.ii' du' dv' ; 



et l'on intégrera, dans le premier cas, depuis u^=o , ^'=o, 

 jusqu'à î/:^-77, v=2.i;\ et, dans Ic^econd, depuis îa'^o, 

 -w'^^o, jusqu'à u'=t:^ v'^zt: : les résultats de ces deux 

 modes d'intégrations seront les mêmes , quelle que soit la 

 ionction F. 



En différentiant deux fois de suite par rapport à ( , 



