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fait à une équation line'aire h coefficients constants, par une 

 valeur quelconque ç=T, on y satisfait aussi en prenant 

 o^-r-; ainsi l'intégrale complète que nous avons trouvée 

 pour l'équaiion (l'i)^ satisfait effectivement à cette équation; 

 ce qu'il s'agissait de vérifier. 



(22) Il est remarquable qu'on soit obligé, pour cette véri- 

 fication , d'effectuer une partie de l'intégration sur les va- 

 liables u' cti»', et une autre partie sur les variables u et v. 

 Ce changement de variables, dont nous avons déjà fait usage 

 dans le n° 5, peut encore être utile dans d'autres occasions. 

 Il est fondé sur une proposition dont l'énoncé le plus simple 

 et le plus géiléral est celui-ci : soit 



x^=cos.[i , y=siii.ii sin.v , z=sin.u cos.v , 

 eXf{,r., y, z) une fonction quelconque de ces trois quan- 

 tités; l'intégrale double f ( /(^',J, ~) siii.u du dv , prise 



depuis u=o et l'^o, jusqu'à u^-k et v = 2.-k^ conservera 

 toujours la même valeur, quelque permutation qu'on fasse 

 entre les trois quantités x, y, z; c'est-à-dire, qu'entre ces 

 limites d'intégrations , on aura toujours 



Ij /{^> X> ') ■^"*- " '^« dv= I f f{x, z, j) sin. u du dv 



= f j /{^, X, y) siri.u du dv, etc. 



Cette proposition serait évidente, si la fonction F était symé- 

 trique par rapport aux trois variables; on peut aussi la véri- 

 fier, en supposant cette fonction développable suivant les 

 puissances entières et positives de ces variables; mais, pour 

 ia démontrer d'une manière immédiate et générale, il faut 



