AUX DIFFÉREN.CES PARTIELLES. I^KJ 



recourir à une construction gëomëtrique, comme nous l'ii- 

 vons déjà fait dans un cas semblable ( n" i ). 



Concevons donc une, sphère décrite d'un rayon pris pour 

 unité ; par le centre de cette sphère , menons arbitrairement 

 trois axes rectangulaires ; nous pourrons supposer que x, j, 

 z, sont les cosinus des angles qu'un rayon de cette sphère fait 

 avec les trois axes : u et v seront les coordonnées polaires 

 qui déterminent la direction de ce rayon ; sin. u du dv sera 

 l'élément de la surface sphérique qui répond à son extré- 

 mité; et enfin l'intégrale double i 1 / {x, y, z) sin.u du dv 



s'étendra à tous les points de cette surface. Or, nous pou- 

 vons changet les coordonnées u et 'v , en deux autres coor- 

 données u' et v' , et prendre celles-ci de manière que les 

 trois cosinus x, y , z, soient 



z-==-COS.u i j=sin.u' sin.v', x=sin.u cos.v' ; 



l'élément de la surface sqta dXors, sin.u du dv' ; et, pour 

 étendre l'intégrale à la surface entière, il faudra la prendre 

 depuis u =o et i;'=o, jusqu'à u ==t: et 'u' = 2tc. Le ré- 

 sultat de ces intégrations relatives au' etv',, sera alors le 

 même que celui qu'pn obtient en intégrant par rapport à u 

 et v; en sorte que l'on aura 



i lj^{ cos.u, sin.u sin.'v, cos.u cos.v) sin. u du dv 



ce qui revient à dire que l'on peut permuter entre elles les 

 deux quantités x et z sous la fonction/, sans changer la va- 

 leur de l'intégrale fff{x,y,z) sin.u du dv, pourvu qu'elle 



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