586 THÉORIE ANALYTIQUE 



de la température variable qui satisfasse à l'équation tlif- 

 térentielle du mouvement de la chaleur et à toutes les con- 

 ditions relatives aux extrémités, et qui pour un temps donné 

 coïncide avec l'état du système, on est assuré que l'expres- 

 sion de V est l'intégrale cherchée. Il ne peut y avoir aucune 

 autre intégrale réellement différente de celle-là, quel que 

 puisse être d'ailleurs le nombre des fonctions arbitraires. Il 

 suffira donc de prouver que la formule qui donne l'expres- 

 sion V, satisfait à l'équation différentielle et aux conditions 

 des extrémités, et que de plus en donnant au temps sa pre- 

 mière valeur zéro, la température Vo représente le système 

 i{/ X des températures initiales. 



Or l'équation différentielle du mouvement linéaire de la 



1 I ^ dv k d'^ V ^ ■ ,, , . ht ,. j ^ 



chaleur est -r-= tt-f; t— 5, et si Ion écrit -r-rrauiieu ae?,on a 

 dt eu dx ' eu 



^= Y^- Il faut donc considérer l'équation à différentielles 

 partielles très-simple — ^^— ^- On reconnaîtra, comme il 



suit, que l'expression de V, satisfait à cette dernière équation. 

 En effet, on conclut de l'équation (1) 



e 



^'^^ <77^^— ^2^ isin.(ia'}cos.(jx) /04-y dr/'r 

 -j-;^2e is,in.{ix)'<fO-^-j dr<!^' re \ 

 — lï^i'fi sin.(ia;)/ drifr&in.{i?-)^ 



