588 THÉORIE ANALYTIQUE 



v^ siii. («j:) /• , .1 ^-^ ' vsin.(j.r) 



2^ — ^n — cos.[i-ci) est connue, et la quantité 2à ^ — ^^'- 



cpnnue aussi; la première est — ^x, et la seconde est 

 ^{vi — x). Nous rappellerons plus bas la démonstration de 

 ces deux propositions. Il s'ensuit que dans l'expression 



dV^ 2 Vi — X 



de —j— les termes ;^y f et -^-— ^ — ç'^ sont détruits par des 



I 1 1 , (P V ^ dv 



termes suivants, et que les deux valeurs de -7-= et -7- sont 



T dx dt 



identiques: donc l'expression de V, donnée par la formule (i), 

 satisfait à l'équation différentielle du mouvement de la cha- 

 leur. 



De plus, il est facile de reconnaître que l'état initial est 

 représenté par cette valeur de V,; en effet, si dans l'équa- 

 tion (i) on pose ï=ro, on trouve 



xi — X 2 ^sin.(jj7) 



> — X 2 ^^ 



i 

 xà 



^{sin.ix) I d n\i r sin. ( i r) ; 



or de ces trois parties de la valeur de Vo, la première et la 

 seconde sont nulles comme on le montrera plus bas, et la 

 troisième donne la valeur de i^x. 



Je ne rappellerai point les différentes démonstrations que- 

 l'on peut donner de cette dernière proposition ; je me borne 

 à en exprimer le véritable sens. Il faut concevoir que pour 



former l'intégrale / dry\jrûn\ir\ on donne d'abord à i 



une seule valeur y prise parmi les nombres entiers 1,2, 



