5qo théorie analytique 



discussion de ces valeurs est facile, mais elle n'appartient pas 



à la question actuelle. 



Si maintenant on applique le théorème dont il s'agit, au 

 cas oii la fonction que l'on veut représenter est vi — a; dans 



1 intervalle de o a trf, on trouve ^ =2 2^ \-—\ en ap- 

 pliquant le même théorème (5) à la fonction x, on trouve 

 ■r=2^ ""'.''^ cos. (jîrfj, série qui était connue depuis long- 

 temps. Il est donc certain, comme on l'a énoncé plus haut, 

 qu'en faisant t=o dans l'expression de V, donnée par l'équa- 

 tion (i), les termes qui contiennent /'o et ip'o disparaissent 



etquil ne reste que la quantité -^^ -. — - 1 cir<^rsiu.{ix)^ 



^ o 



qui, suivant le même théorème, équivaut à ^x; donc l'état 

 initial du solide est représenté par la valeur de Vo de l'équa- 

 tion (4). 



Quant aux conditions relatives aux extrémités, elles sub- 

 sistent pour toutes les valeurs de t : car si l'on fait x=vi 

 dans l'expression V, elle devient égale à /t, quelle que 

 soit la valeur de t, et lorsque x=^o elle devient <p^ Donc 

 l'expression de V, .^présentera les températures variables 

 du solide pendant toute la durée du phénomène; puisqu'elle 

 convient à l'état initial, aux conditions des extrémités et à 

 l'équation différentielle. 



(4) 



Énoncé ries trois questions partielles dont on réunit les 



solutions. 



Après avoir démontré la vérité de cette solution, il nous 



