Gl8 THÉORIE ANALYTIQUK 



iatioiis singfulières du nombre Hes variations de signes iivec 

 les valeurs des racines, le théorème dont la règle de Des- 

 cartes est un cas particulier, et qui s'applique, soit aux nom- 

 bres dps variations de signes, soit aux différences de ces 

 nombres , enfin les règles pour la" distinction des racines ima- 

 ginaires , s'étendent certainement à tous les genres de fonc- 

 tions. Il n'est pas nécessaire qu'en poursuivaTit les différen- 

 tiations, on puisse toujours former une équation dont on 

 sait que toutes les racines sont réelles. Ce serait retrancher 

 une des parties les plus importantes et les plus fécondes de 

 l'art analytique, que de borner les théorèmes et les règles 

 dont nous parlons aux seules fonctions algébriques , ou d'éten- 

 dre seulement ces théorèmes à cjuelqucs cas particuliers. La 

 considération des courbes dérivées successives jointe au 

 procédé que j'ai donné (Société philomatique, année i8ao, 

 pages i85, 187), et qui fait connaître promptement et avec 

 certitude si deux racines cherchées sont imaginaires ou réelles, 

 suffit pour résoudre toutes les équations déterminées. 



Je regrette de ne pouvoir doiuier à ces remarques théo- 

 riques les développements qu'elles exigeraient. J'ai rapporté 

 plusieurs éléments de cette discussion dans la suite de ce 

 mémoire; elle sera exposée plus complètement dans le traité 

 qui a pour objet l'analyse généiale des équations détermi- 

 nées. 



J'ai ajouté à cette même partie du Mémoire quelques re- 

 marques sur la question du mouvement des ondes; elles se 

 rapportent aussi à la théorie analytique de la chaleur , parce 

 qu'elles concernent l'emploi des fonctions arbitraires. Le but 

 de ces remarques est de prouver que la question dès ondes 

 lie peut être généralement résolue si l'on n'introduit pas 



