DU CALCUL DES RESIDUS. 465 



a?=oo , éminemment propre au développement d'une fonction 

 en série d'exponentielles. Alors, en effet , la variable principale 

 y se trouve représentée par une semblable série ; et, si la géné- 

 ralisation de la formule dont il s'agit est légitime,/ doit se 

 réduire à une fonction qui reçoive, avec ses dérivées succes- 

 sives, les valeurs particulières données pour,r=.x„. Toutefois 

 il importe d'observer, i° qu'il existe une infinité de fonctions 

 propres à remplir cette dernière condition , 1° que la formule 

 établie pour des valeurs finies de #, peut devenir inexacte dans 

 le passage du fini à l'infini. Ces difficultés disparaissent devant 

 une quatrième méthode qui a toute la rigueur des deux pre- 

 mières , et s'applique non-seulement au développement des 

 fonctions en exponentielles, mais encore à une multitude de 

 questions du même genre. Cette dernière méthode qui se 

 déduit immédiatement du calcul des résidus, est fondée sur 

 le principe dont j'ai déjà fait usage pour déterminer les 

 constantes abstraires comprises dans les intégrales des équa- 

 tions différentielles. Pour la faire mieux saisir , je commen- 

 cerai par résoudre la question suivante : 



I er Problème. Soient F(r) et f(.r,y,. . .r), deux fonctions 

 de ret de x ,y,. . . qui restent finies l'une et l'autre pour des 

 valeurs finies de r; a une constante déterminée , et r r 2l etc., 

 les racines de l'équation algébrique ou transcendante 



(i) ¥{r)=o. 



On propose de développer la fonction ï(x, y, . . . p) en une 

 série de la forme 



(2) î(x,y, . . . p ) = R,f(*,j,. . ./0+R a f (#,/,. . .rj + etc. , 



R, , R a , . . . étant des fondions semblables des racines r, , r, , . . . 

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