DES RACINES IMAGINAIRES. g „ 



proposée n'a cucune de ces valeurs réelles et critiques, il est 

 impossible qu'elle n'ait pas toutes ses racines réelles. En gé- 

 néral c'est une même méthode qu'il faut employer , soit pour 

 distinguer les racines imaginaires dans les équations algé- 

 briques et pour calculer les valeurs de leurs racines réelles 

 soit pour distinguer les racines imaginaires des équations 

 transcendantes et calculer leurs racines réelles. La conver 

 gence des séries qui expriment les fonctions transcendantes 

 supplée a la propriété qu'ont les fonctions algébriques d'être 

 réduites à une constante par des différencions successives 

 On peut faire l'application de ces principes aux équations 

 transcendantes qui servent à former l'expression du mouve- 

 ment de la chaleur dans la sphère , dans les prismes rectan- 

 gulaires, et dans le cylindre. J'ai rappelé les trois procédés 

 différents dont je me suis servi , dans mes recherches ana- 

 lytiques sur la chaleur, pour résoudre les équations dont il 

 s agit; ils donnent tous les trois le même résultat : 



i° On emploie les constructions géométriques, parce 

 quelles font connaître très-clairement les limites de chaque 



2° J'ai démontré que toutes les racines des équations tri- 

 gonometnques qui se rapportent à la sphère ou aux prismes 

 sont réelles, en substituant à la place de la variable un bi- 

 nôme dont le second terme est imaginaire. On voit, par le 

 résultat de cette substitution, que le coefficient du second 

 terme est nécessairement nul. 



3° On démontre aussi que les équations trigonométriques 

 dont ,1 5 agit ont toutes leurs racines réelles, sans qu'il soit 

 nécessaire de regarder comme connue la forme des racines 

 imaginaires; car la fonction trigonométrique est le produit 



