106 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIETES 



ce plan et les autres sont compris dans un autre plan qui lui 

 est perpendiculaire; ou parce que, par la nature du corps, 

 une des trois quantités D , D', D", est nulle. Supposons que 

 ce soit D" : comme D" z= f x 1 d m — f y 1 d m, il faudra 

 que f y % d m ■=./ x* d m , et par la théorie connue des plans 

 principaux, tout plan passant par l'axe des z sera un plan 

 principal. La supposition D" =: o réduit l'équation de la sur- 

 face conique à 



[DXy+- D' Yx) z -+- [D' Xy -+■ D'Y x) Z '= o; 



mais comme alors G z=zH, les deux quantités D =z H — K 

 et D'=lK — G sont égales et de signes contraires, cette équa- 

 tion peut donc s'écrire ainsi , 



(Xy—Yx)( z — Z) = o, 



dont le premier facteur X y — Y V=o, donnant 



il — JL 



x X ' 



représente le plan qui passe par le point donné et par l'axe 

 des Z' et l 11 '» comme nous venons de le dire, est un plan 

 principal. L'autre facteur z — Z= o, représente un autre 

 plan passant par le point donné et parallèle au plan des x y; 

 il est donc perpendiculaire au plan représenté par le premier 

 facteur, et dans ce cas, comme dans celui que nous avons 

 d'abord examiné, les axes permanens passant par un point 

 donné ne peuvent être compris dans deux plans qu'autant 

 que l'un de ces deux plans est un des plans principaux et 

 que l'autre lui est perpendiculaire, en sorte que dans aucun 

 cas cette propriété ne peut appartenir à un point qui ne se 

 trouve pas dans un des plans principaux, et que les axes 

 permanens qui passent par un point donné ne peuvent se 

 trouver compris dans des plans qu'autant que ces plans, s'ils 

 ne sont pas des plans principaux , soient nécessairement 



