108 MÉMOIRE SUR QUELQUES NOUVELLES PROPRIETES 



propriété de contenir un second système d'axes permanens 

 parallèles entre eux, ils ne la présentent que dans le cas par- 

 ticulier où ils sont perpendiculaires à un plan principal : c'est 

 pourquoi, dans tout ce que nous allons dire des plans direc- 

 teurs , nous entendrons toujours par ce mot les plans direc- 

 teurs des axes permanens, et non ceux de leurs limites. 



Si le point donné se trouvait sur un des axes principaux, 

 en prenant cet axe pour celui des £, on aurait Xzz=.o, Y=:o; 

 l'équation de la surface conique deviendrait 



D" Zxy = o, 



et l'on aurait x — o, ouj — o, c'est-à-dire que les deux 

 plans dans lesquels se change alors cette surface sont les 

 deux plans principaux qui passent par le point donné ; ce 

 qui est d'ailleurs évident, puisque toutes les lignes menées 

 par un point quelconque pris dans les plans principaux sont 

 des axes permanens. 



Lorsque l'intégrale f x x dm est égale à-fy 1 dm, ce qui 

 donne D =z o, l'équation que nous venons d'obtenir pour 

 le cas où le point donné est sur l'axe des £, s'évanouit : ce 

 qui indique que dans ce cas toutes les lignes menées par ce 

 point, dans quelque direction que ce soit, sont des axes per- 

 manens; ce qu'il est d'ailleurs bien aisé de voir à priori. 



L'équation générale 



D Xy z+D' Yxy+D" Z xy+D Y Z x+D' X Zy+D" Y X z=o 



disparaît aussi quand les trois intégrales f x*~ dm, f y z dm, 

 fi* dm, sont égales entre elles, parce qu'alors toutes les lignes 

 menées de quelque manière que ce soit par un point quel- 

 conque sont des axes permanens. 



Enfin, si le point donné était au centre d'inertie, on' aurait 

 X rmo , Yzzzo, Zzzz\ o, et l'équation de la surface conique 

 disparaîtrait encore, parce que tout plan mené parle centre 

 d'inertie est, comme nous l'avons vu plus haut, un plan 



