I J 8 THÉORIE DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR 



infini. Au reste, ce même résultat, qu'il est facile d'aper- 

 cevoir à priori, se déduit aussi du calcul. Il est exprimé par 

 les formules générales que l'on obtient en ayant égard à l'état 

 initial ; et l'on reconnaît facilement que les températures 

 finales du solide sont périodiques, et redeviennent les mêmes 

 après un intervalle de temps égal à celui qui détermine le retour 

 des températures de la surface. Il a paru superflu d'entrer ici 

 dans ce développement. 



On voit maintenant que la fonction cherchée v de x et t est 

 périodique par rapport au temps *|et qu'elle satisfait à l'équa- 

 tion générale 



I \ dv . % d 1 v _ , d 1 v 



^ e > ~Tt cd dw — • "rf«F"' 



Elle satisfait aussi , lorsqu'on fait a z=z o , à l'équation déter- 

 minée v — <p (/), <J> étant une fonction périodique que l'on 

 suppose connue. C'est au moyen de ces conditions qu'il faut 

 déterminer la fonction v. 



La nature de la fonction <p est telle, par hypothèse, qu'elle 

 ne change point de valeur si l'on écrit t-+- G au lieu de t, 

 étant la durée de la période ; il doit en être de même de la 

 fonction v. 



On satisfait à l'équation (e) en supposant 



v=z a e~ e " cos (ig'~ kt — gu), ou vzzzaë~ s "sin ( zg l kt — gu). 



Ces valeurs particulières se déduisent de celles que nous avons 

 employées jusqu'ici ; il suffit de rendre les exposans imagi- 

 naires. Les quantités g et a sont arbitraires. On peut donc 

 exprimer la valeur générale de v par l'équation suivante : 



[e] v =ze~ eu [acos(zg z kt — gu) -+- h sin ( ig 1 kt — g")] 

 -\-e~ g <"[û,cos(2 g, z kt — g z ii)-+-b, sin(zg t z kt — g,u)] 

 -he~ g >"[a x cos(2 g^kt— g % u) ■+-£„ sin {zgfÀt — g % u)] 



