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tement pour la première valeur approchée de /* e , qui satisfait 

 à l'équation ( i i ) , 



e t=.u. 1 f— (at, cosu'-+-/3 sinw'sinv-'-l-y sina'cos)''). 



4« 4 ,r 



Pour en obtenir une seconde, nous ajouterons un terme .r 

 à cette première valeur; en retenant ensuite dans l'équation 

 (i i) les termes de première dimension par rapport à s et à t , 

 et réduisant, on aura 



ff{Y -h^- î'.-r--^- >V+--p- Y,-*- &c.) s sin u'du'dv' 



z=ff(-r o ^ »^i Y^^Y^fkc^etsuWdudv', 



où l'on a conservé, pour abréger, /u. e à la place de sa valeur 

 précédente. Quelle que soit la valeur de /ut. e t en fonction de 

 u' et v' , on peut l'exprimer par une série de cette forme (*) : 



/tf(z:Z' +Z' 1 +Z' ! -+Z' î +&c., (12) 



dont les termes sont de certaines fonctions des sinus et cosinus 

 de ces deux angles, qui sont telles, que l'on a 



f JZ' t Yi' sin u du' d v' = o , 



quand les indices i' et ; sont différens; et 



ffL'i Yi sin u' du' d v' • 



a i • *- 1 ' 



quand ils sont égaux : Z, représentant ce que devient Z',- 

 lorsqu'on y remplace u' et v' par u et v, et les intégrales étant 

 prises depuis «'zzoetv'^ro, jusqu'à u ' z=zit et/=2 7r. 

 De cette manière, le second membre de l'équation précédente 

 deviendra 



47r( _Z - h -^ Z,-H^Z i + ... ^'-'^ Z, + & c); 



• (*) Journal dt l'Ecole polytechnique , 19.' cahier, page i4j. 



