PARTIE MATHEMATIQUE. I 3 



Mémoire sur le Développement des Fonctions en séries , et 

 sur l'Intégration des Equations différentielles , ou aux 

 différences partielles , par M. Augustin Cauchy. 



Pour découvrir et démontrer les propriétés les plus 

 remarquables des fonctions , on a souvent employé leur 

 développement en séries, ou suites infinies, c'est-à-dire, 

 composées d'un nombre infini de termes; et parmi les géo- 

 mètres , ceux même qui n'ont pas , suivant la méthode de 

 La Grange , fait de ce développement la principale base du 

 calcul infinitésimal , s'en sont du moins servis pour établir 

 plusieurs théories importantes ; par exemple , pour déter- 

 miner le nombre des constantes arbitraires, ou des fonctions 

 arbitraires que comportent les intégrales générales des équa- 

 tions différentielles, ou aux différences partielles, pour calcu- 

 ler ces intégrales, pour fixer les caractères auxquels on doit re- 

 connaître les solutions particulières, ou intégrales singulières, 

 des équations différentielles, ckc. Toutefois, en remplaçant les 

 fonctions par des séries, on suppose implicitement qu'une 

 fonction est complètement caractérisée par un développement 

 composé d'un nombre infini de termes, au moins tant que 

 ces termes obtiennent des valeurs finies. Par exemple, lors- 

 qu'on substitue à la fonction /(*) la série de Maclaurin , et 

 que l'on écrit en conséquence 



(1) f{ X )=f{o)-^^ r f'{o)-+- -^/"(o)-+-&c... 



on suppose qu'à un système donné de valeurs finies des 

 quantités 



/(o)./'(o),/"(o),&c... 



correspond toujours une valeur unique de la fonction f(x). 

 Considérons, pour fixer les idées, le cas le plus simple, celui 



