[4 HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, 



où les quantités /(o), /' (o),/" (o), &c. . . s'évanouissent 

 toutes à-Ia-fois. Dans cette hypothèse, on devra, ce semble, 

 conclure de l'équation (i ) que la fonction f [x) s'évanouit 

 elle-même. Néanmoins cette conclusion peut n'être pas exacte. 

 En effet, si l'on prend 



i 



f(x) = e~~, 

 on trouvera 



/ (o)=o, /(o) = o, /'(o) = o,&c. . 

 Il en serait encore de même, si l'on supposait 



-f-A-Y 



f{x) = e *■*"•*/ , 



ou bien 



i 



f(x) = e~ '> + '' + " !+ ""» , 



a désignant une constante positive, et a-\-bx~\-c # l -+-&c... 

 une fonction entière de x; ou simplement 



i 



la variable x étant assujettie à demeurer constamment posi- 

 tive, &c. . . . On peut donc trouver pour f [x) une infinité 

 de fonctions différentes , dont les développemens en séries 

 ordonnées suivant les puissances acendantes de x, se réduisent 

 à zéro. 

 _ On serait naturellement porté à croire qu'étant données 



les quantités /(o), f (o), /" (o) l'équation ( i ) fera 



du moins connaître la valeur de f (x) toutes les fois que la 

 série comprise dans le second membre restera convergente. 

 Néanmoins il n'en est pas ainsi. En effet, nommons <p (x) 

 une fonction développable par le théorème de Maclaurin en 

 série convergente, et, de plus, équivalente à la somme de la 



