PARTIE MATHÉMATIQUE. I 5 



série obtenue; désignons par p£ (x) une autre fonction dont 

 ie développement se réduise à zéro : les deux fonctions 



<p{x) etQ{x)-+-x In- 

 distinctes l'une de l'autre , auront pour développement une 

 même série convergente. Par exemple, les fonctions 



r~* et e *— h- e ' , 



ont pour développement commun la série convergente 



X z X* X 6 



1 : H h &c. • • • , 



1 1.2 1.2.3 



dont la somme équivaut à une seule d'entre elles. 



II suit de ces remarques qu'à une seule série , même con- 

 vergente, correspondent une infinité de fonctions différentes 

 les unes des autres. Il n'est donc pas permis de substituer 

 indistinctement les séries aux fonctions ; et pour être assuré 

 de ne commettre aucune erreur, on doit borner cette substi- 

 tution au cas où les fonctions, étant développables en séries 

 convergentes , sont équivalentes aux sommes de ces séries. 

 Dans toute autre hypothèse , les séries ne peuvent être 

 employées avec, une entière confiance qu'autant qu'elles se 

 trouvent réduites à un nombre fini de termes, et complétées 

 par des restes dont on connaît les valeurs exactes ou appro- 

 chées. Ainsi , en particulier, lorsqu'on veut déterminer par 

 une méthode rigoureuse les maxima ou minima des fonctions, 

 et les véritables valeurs des fractions qui se présentent sous 



la forme — , on emploie la série de Taylor, non pas en la 



regardant comme composée d'un nombre infini de termes , 

 mais en la complétant par un reste dont la valeur demeure 

 comprise entre certaines limites. 



Après les considérations que nous venons d'exposer, on 

 ne sera pas surpris de trouver en défaut, dans certains cas, 



