PARTIE MATHÉMATIQUE. I7 



2." une ou plusieurs dérivées partielles de Z , relatives à y. 

 Dans ce cas, la valeur générale de Z pourra être représentée 

 par une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de 

 x, et qui ne renfermera d'arbitraire que la fonction de y, à 

 laquelle Z est censée se réduire pour * = o. Par conséquent, 

 si cette fonction est connue pour toutes les valeurs possibles 

 de y, il semble que la valeur de z sera complètement déter- 

 minée. Néanmoins il n'en est pas ainsi. Concevons en effet 

 que l'équation donnée soit la suivante : 



dx \ y* 1 dy 2 y' dy ' 



et désignons par <p (y) la fonction de y, à laquelle Z doit se 

 réduire par xzzo.La valeur de Z , déduite de l'équation (4 ) 

 par le développement en série,, prendra la forme, 



(5) Z = ?W +i[(, + -LBlkLJ r -^L ] ^ &c ... 



Tous les termes de la série précédente étant des fonctions dé- 

 terminées des variables x et y, lorsque la fonction <p (y) est 

 elle-même déterminée, il semble en résulter qu'une seule 

 valeur de Z remplira la double condition de vérifier l'équation 

 aux différences partielles proposées, et de se réduire à <p (y) 

 pour* = o. Néanmoins il est facile de s'assurer que si l'on 

 satisfait aux deux conditions énoncées par une certaine valeur 



(6) z =z X ( x ,y), 



on y satisfera encore en attribuant à z la valeur plus générale 



- J ■+>' 



w) Z—?Ux>y)-i-çx, z e ** , 



dans laquelle c désigne une constante arbitraire. 



Après avoir montré l'insuffisance des méthodes d'intégration 

 fondées sur le développement en séries, il me reste à dire en 

 peu de mots ce qu'on peut leur substituer. 



Pour déterminer le nombre des constantes arbitraires que 

 Tome V. Hist. 



