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comportent les intégrales générales des équations différen- 

 tielles entre deux ou plusieurs variables, et pour démontrer 

 l'existence de ces mêmes intégrales , il suffit d'employer les 

 méthodes que j'expose depuis plusieurs années dans mes leçons 

 à l'École polytechnique. Ces méthodes seront l'objet d'un 

 nouveau Mémoire. La détermination du nombre des cons- 

 tantes arbitraires, en particulier, repose sur le théorème sui- 

 vant. 



Si une fonction -sr (a) de la variable x s'évanouit pour 

 x :=r o , le rapport de cette fonction à sa dérivée , savoir , 



"* (*) 



s'évanouira lui-même quand on fera décroître la variable x 

 au-delà de toute limite. 



J'ajouterai que la méthode dont je fais usage pour démon- 

 trer l'existence des intégrales dans tous les cas possibles , sert 

 en même temps à calculer, avec telle approximation que l'on 

 veut, les valeurs des intégrales particulières correspondantes 

 à des valeurs données des variables. 



Pour distinguer, relativement aux équations différentielles 

 du premier ordre , les intégrales singulières d'avec les inté- 

 grales particulières, il suffit d'appliquer la règle que j'ai fait 

 connaître dans un Mémoire lu à l'Institut le 13 mai 18 16. 

 D'après cette règle, que l'on démontre rigoureusement sans 

 le secours des séries, pour juger si une certaine valeur de y, 

 par exemple , 



y = F (x), 

 est une intégrale particulière ou singulière de l'équation dif- 

 férentielle 



dy =f(x ,y). d x, 

 on doit recourir, non pas à la fonction dérivée 



df{*,y) 



dy ' 



