JO HISTOIRE DE L ACADEMIE, 



nous allons faire connaître la forme sous laquelle il a obtenu 

 la valeur de <p, pour une classe très-étendue d'équations linéaires 

 aux différences partielles et à coefficiens constans. Cette classe, 

 à laquelle se rapportent les problèmes du son, de la chaleur, 

 des cordes vibrantes, des ondes, des plaques élastiques, Sec..., 

 se compose des équations qui ne renferment qu'une seule des 

 dérivées de <p, relatives à t. Concevons, pour fixer les idées, que 



m soit la dérivée dont il s'agit, et que l'équation donnée 



n'ait pas de dernier terme indépendant de cj>. Désignons par 



fo{x.y, Z ...),/, {x,y, z- ■ ■ ),/, (x'.y, Z---)> &c.f m _, [x,y, g.. ; ), 



les fonctions de x,y, £...., auxquelles 



d<p d* <p „ d"—'<f 



dt ' dt z ' dt"-> 



doivent respectivement se réduire pour / =z o. Enfin repré- 

 sentons par 



i , a , b , c . . . .h 

 les racines de l'unité du degré ;/;. Si , en supposant la valeur 

 de tirée de l'équation (6), et les intégrations relatives aux 



variables au, /2, y effectuées entre les limites — oo, -t-oo, 



on fait, pour abréger, 



lr=-(. 9 " / -'-f-^ e ^-- h .^ ô '> / - , H-....-f-/ e ' v/ -^ 

 (8) mV ; 



[P^ffff^M-* / (>w)/ -' /^^'...Td^dCdy... 

 la valeur de <p sera déterminée par la formule 

 (p) <P=fff...Pfo{f*<,v,'&...)dis.<lvd'ûr... 



~^f cit fff' • -Pf* (/ M '» v '' sr - • ■jdfA.dvd'or. . . 

 H-&c 



-+-f m -' dt m -'fff- ■■Pf m -, (>, ^.,.)dy.d,d^'::'. 



