SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 22g 



leur détermination , pour qu'elles rendent l'intégrale un 

 maximum, ou un minimum. Lagrange, quoiqu'il se soit occupé 

 jusqu'à trois fois différentes de la variation d'une intégrale 

 double (*), n'a cependant jamais considéré, d'une ma- 

 nière complète, les termes de cette variation correspon- 

 dants aux deux limites , et n'a formé aucune des équations 

 qui s'y rapportent. Cette lacune dans la science méritait de 

 fixer l'attention des géomètres. Elle a déjà été signalée par 

 notre confrère, M. Lacroix, en exposant, à la fin de son 

 Traité de calcul intégral , l'ensemble des formules du calcul 

 des variations. Je me suis proposé de la faire disparaître; et 

 je crois y être parvenu dans le Mémoire que je soumets 

 aujourd'hui à l'Académie. On y trouvera aussi de nouvelles 

 remarques sur les conditions d'intégrabilité des formules 

 différentielles d'un ordre quelconque, et l'expression de 

 l'intégrale sous forme finie par le moyen des quadratures, 

 lorsque ces conditions sont satisfaites. 



(*) Mémoires de l'Académie de Turin, tome II, page 188; leçons sui- 

 te calcul des fonctions, édition de 1806, page 47*5 Mécanique analyti- 

 que, seconde édition , tome I, pages 97 et 148. 



