SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 23 1 



Enfin , les deux limites d'une intégrale relative à x étant 

 désignées par x et x, , les valeurs qui répondent à ces mêmes 

 limites, de toute quantité H, seront représentées, dans ce 

 paragraphe, par H„ à la limite x , et par M, à la limite x,. 



(2) Soit actuellement y une fonction de la variable x ; 

 d'après la notation dont on vient de convenir, on aura 



dx~ y ' dx'—y-' i^~y > etc -; 



désignons par V une fonction donnée de x, y , y ', y", .... 

 jusqu'à un coefficient différentiel d'un ordre déterminé; 

 soient aussi x r , et ,r, deux quantités constantes; et considé- 

 rons l'intégrale définie 



U=f ' Vdx. 



Si nous regardons x et par suite y, comme des fonctions 

 implicites d'une autre variable u, nous pourrons supposer 

 qu'on ait exprime , par les règles connues du changement de 

 la variable indépendante, les coefficients différentiels y\ 

 y", y'", etc. , au moyen de ceux de x et y par rapport à u; 

 V deviendra une fonction de x et j, et de ces derniers 

 coefficients; et en désignant de plus par u a et u, les valeurs 

 de u qui répondent à x=x\ et x=x,, nous aurons 



J K du 



Cela posé, soient iLx et $y des fonctions arbitraires et in- 

 finiment petites de u; sans changer «„ et m,, mettons œ + £. r 



