J.36 MÉMOIRE 



et en dehors du signe /, on pourra mettre au lieu de &)„,<«,, 

 <.■>„' , etc. , leurs valeurs 



«o = 5j — y 'Sx o , <,>J = Sy '—y "lîx a , etc., 

 eu, = Sj, — y' hx, , w,' = &j\' — y" Sa-', , etc. 



De cette manière , la variation de l'intégrale U se trouvera 

 exprimée explicitement au moyen des variations de a; et de y, 

 et de celles des valeurs extrêmes de x , y, y' , y", jus- 

 qu'au coefficient différentiel de l'ordre immédiatement infé- 

 rieur au plus élevé qui soit compris dans V. 



On peut remarquer que la variation de U se réduirait à 

 V, &.r, — V îa? o , si les variations 8x et 8y avaient entre elles 

 le même rapport que dy et dx , c'est-à-dire, si l'on avait 

 Sy=y' Sx , pour toutes les valeurs de x; ce qui rendrait 

 nulles les quantités <o, w', t>", etc. Cela devait effectivement 

 . arriver; car si x et y sont les coordonnées d'un point quel- 

 conque d'une courbe, et qu'on établisse entre leurs varia- 

 tions, le rapport qui a lieu entre leurs différentielles le long 

 de cette courbe, elle ne changera pas, et l'intégrale ne fera 

 qu'augmenter de V, 8x, et diminuer de V.8x c , à raison des 

 variations Sx, et £ x de ses limites. 



Si les quantités x , j , j ', j ", etc., x,, y, , y, ', j,", etc. ou 

 seulement quelques-unes, entraient dans la fonction donnée 

 V, il faudrait ajouter au terme r de la formule (3), une 

 partie provenant de leurs variations, laquelle partie serait 

 évidemment 



%x»J -j^dx+SyJ j-dx + etc.+SxJ ^—dx + etc. 



