SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 2.^1 



x = x . D'ailleurs, pour tenir compte des accroissements Sx,, 

 et èa;, des deux limites de U, il faudra augmenter sa varia- 

 tion du produit Vjx,, et la diminuer du produit YJx . 

 Par conséquent la variation complète de U aura pour ex- 

 pression : 



S\J = V I Sx — V o ^ o + (P,_Q,') tdi _(P _Q o ') (do 

 + Q,a,,'— Q <*: + f "(N— F+Q") u ^. 



Pour que cette expression coïncide avec la formule (3), 

 il suffira que les quantités w, w„, <o ', «,, «,', soient les mêmes 

 dans les deux cas. Or, w est maintenant la différence de 

 deux valeurs de y correspondantes à une même valeur de x; 

 en sorte que si x et y sont les coordonnées d'un point 

 quelconque d'une courbe donnée, j+u sera l'ordonnée qui 

 répondra à la même abscisse x après que la courbe aura 

 changé de forme. Si donc on désigne par y -h S y l'ordonnée 

 du point de la nouvelle courbe qui répond à l'abscisse 

 x + 8x, cette ordonnée sera ce que devient y -+- <o quand on 

 y met x -+- èx a la place de x, et, par la formule de Taylor, 

 on aura 



y + b y=y + o> + ■ ^^"h x + etc.; 



d'où l'on tire, en négligeant les infiniment petits du second 

 ordre, 



u> = 8y — y' Sx. 



De même, en désignant par y' + S y' le premier coefficient 

 différentiel de l'ordonnée, qui répond, dans la nouvelle 

 courbe, à l'abscisse x+ Sx, et observant que y' + J est la 

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