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valeur de ce coefficient relativement à l'abscisse x , on aura 



/ + S/=y + w '+ d -^j~ 1 Sx + etc. ; 



d'où il résulte 



w' = £j' — y" Sx; 



et ces expressions de u etu' ayant lieu en un point quelcon- 

 que de la courbe, on aura, à ses extrémités, 



» = S y — yl S x a , y/ = 8yJ — y° S x„ , 



i = 5 7. — y! * *. > «.' = * r.' — .r." * *. » 



comme dans la formule (3). 



Cette analyse est le complément de celle qui est exposée 

 clans le Methodus inveniendi, etc., et dont on faisait usage 

 avant l'invention du calcul des variations. On se bornait 

 alors à considérer la variation d'une seule, ou du moins, 

 d'un nombre limité de valeurs intermédiaires de y; ce qui 

 conduisait à une expression de âU, composée d'un pareil 

 nombre de parties semblables à la formule (a), et laissait 

 inconnue la partie de SU qui répond aux limites de U. La 

 comparaison de cette analyse à celle du n°2, suffit déjà 

 pour montrer tout l'avantage du procédé de l'intégration 

 par partie, qui serait d'ailleurs encore bien plus difficile 

 à remplacer par la décomposition en éléments infiniment 

 petits , dans le cas des intégrales relatives à deux ou plusieurs 

 variables indépendantes. 



(5) Maintenant supposons qu'il s'agisse de déterminer y 

 en fonction de x, ainsi que les limites de U, de manière 

 que cette intégrale soit un maximum ou un minimum. Si l'on 



