SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. û43 



désigne par « une constante infiniment petite , et que l'on 

 remplace Sx et Sy par «.Sx et aSy, l'accroissement entier 

 de U s'exprimera par une série ordonnée suivant les puis- 

 sances de a, dont le premier terme sera a SU. Or , ce premier 

 terme changeant de signe avec a , on en conclura 



SU = o, 



pour l'équation commune au maximum et au minimum deU. 

 Quant à la distinction de ces deux cas, dont nous ne nous 

 occuperons pas dans ce Mémoire, elle dépendra, comme on 

 sait, du signe que prendra le second terme de la série. 



Cette équation devant subsister pour des valeurs entière- 

 ment arbitraires de Sx et de Sy, et <o étant, par consé- 

 quent, une fonction arbitraire de x, il faudra que l'inté- 

 grale contenue dans la formule (3), et la partie comprise 



hors du signe /, soient séparément nulles; par la même 



raison, cette intégrale ne pourra être nulle, à moins que 

 H ne soit zéro ; on aura donc les deux équations 



r = o, H = o, 



dont la seconde, savoir: 



N — P'+Q"— R"'+etc. = o, (4) 



fera connaître y en fonction de x et d'un certain nombre de 

 constantes arbitraires. Ces constantes et les deux limites x 

 et x x se détermineront, en général, au moyen des équations 

 qu'on déduira de r o , jointes aux conditions particulières 

 auxquelles les limites de U pourront être assujetties. Je dis 

 en général; car il y a un cas, comme on le verra plus loin, 



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