SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 245 



Au moyen de chacune de ces équations, on éliminera l'une 

 des variations contenues dans r = o; après quoi, l'on éga- 

 lera séparément à zéro les coefficients des variations restan- 

 tes : le nombre des équations que l'on formera de cette 

 manière, joint à celui des équations données A = o, B=o, 

 etc., et des équations X„=o, X,= o, etc., sera encore égal 

 à [\n + 2, comme dans le cas précédent. Au lieu d'effectuer 

 l'élimination que nous indiquons, on pourra, si l'on veut, 

 multiplier les équations £A = o, SB— o, etc., par des fac r 

 teurs indéterminés a, b , etc. , et les ajouter à r^=o ; ce qui 

 donnera l'équation 



r + «àA + 65B+ etc. = o, 



dans laquelle on égalera séparément à zéro, le coefficient de 

 chacune des variations Sx„, èj , etc., £#,, etc., comme si 

 elles étaient indépendantes entre elles. Le nombre total des 

 équations qu'on aura alors, sera égal à 4 ra +2, augmenté 

 du nombre des facteurs a, b, etc., et se réduira à l\n + 2, 

 après l'élimination de ces facteurs. 



Lorsque V sera linéaire par rapport à j w ., l'équation (4) 

 ne contiendra plus y {n ~' ] et s'abaissera à l'ordre in — 1 ; son 

 intégrale complète ne contiendra donc plus que 2.n — 1 

 constantes arbitraires; et le nombre des équations relatives 

 aux limites de U étant toujours le même qu'auparavant, il 

 s'ensuit que le problème ne pourra être résolu qu'avec quel- 

 ques restrictions. Dans d'autres cas particuliers , l'ordre de 

 l'équation (4) s'abaissera encore davantage, et la solution du 

 problème sera d'autant plus restreinte. Si cette équation 

 admet une ou plusieurs solutions particulières, on pourra 

 s'en servir pour résoudre le problème, mais d'une manière 



