SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 247 



(6) Le problème que nous venons de résoudre se décom- 

 pose naturellement en deux autres que l'on peut considérer 

 successivement. 



En premier lieu, on peut regarder comme données les 

 valeurs de #„, j„, j„', etc., x t , j, ,j,', etc., et chercher l'ex- 

 pression de y en fonction de x et de ces quantités , qui rend U 

 un maximum ou un minimum. Pour cela, soit w une quantité 

 infiniment petite, qui sera une fonction arbitraire de x; si 

 l'on suppose que y devienne y + u, ses coefficients diffé- 

 rentiels y\y", etc., deviendront en même temps j'-f-w', 

 j"+w", etc.; et à cause que les limites x et x._ ne varient 

 pas , on aura 



SU=f I (N t , + P u '+Qo."-f-etc.)^/ 



N, P,Q, etc., étant les mêmes que précédemment. Par l'in- 

 tégration par partie, et en observant que «>, J, u", etc. , doi- 

 vent être zéro aux deux limites, puisque les valeurs extrêmes 

 de J> y'> fi etc - > sor| t supposées fixes, on transformera cette 

 expression de âU en celle-ci : 



*U=f Xl ÇN— V'+Q"+etc.)odx; 



et pour qu'elle soit nulle dans le cas du maximum ou du 

 minimum , il faudra qu'on ait 



N — P' + Q"— etc. = o, 



comme dans le numéro précédent. On déduira de cette équa- 

 tion , la valeur de y en fonction de x et d'un certain nombre 

 de constantes arbitraires; ces constantes se détermineront 



