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au moyen des valeurs données de #„,j„, y' , etc., x,, /,, 

 j-,', etc. ; et de là il résultera l'expression dey qu'il s'agissait 

 d'abord d'obtenir. 



En substituant cette expression et celles de y\y'\ etc. , 

 dans V , et prenant l'intégrale de V dx depuis x = x„ jusqu'à 

 x = x,, on aura la valeur maxima ou minima de U par 

 rapport à la forme de la fonction y, en fonction de x„, jy , 

 y \ etc. , Xi , j-,, y,', etc. On pourra maintenant chercher les 

 valeurs de ces quantités qui rendent, de nouveau, U un 

 maximum ou un minimum ; et si l'intégration de l'équation 

 précédente, et celle de Y dx, ont pu s'effectuer, on résoudra 

 par les règles ordinaires cette seconde partie du problème. 

 Mais en vertu de l'équation précédente, les équations rela- 

 tives à cette nouvelle question seront indépendantes des 

 intégrations dont il s'agit. 



En effet, les limites x„ et x, devenant x + dx et x t +dx,, 

 l'intégrale U augmente de V,dx\ et diminue de V dx ; si 



donc on différentie en outre sous le signe /, par rapport 



à toutes les quantités x„ ,J„ ,,>*„', etc., x, , y, , j,', etc. , on aura 



dV = V,dx— V o dx + f l Edx, 



où l'on a fait, pour abréger, 



r dV , d\ , rfV , d V , 



E =d^/ x ° + d^ l dx - + dj, d y° + dj, d r' + etc - 



Mais si l'on suppose, pour plus de simplicité, que V ne 

 renferme pas explicitement ces quantités x , x, ,j ,j,, etc., 

 et soit seulement une fonction donnée de x, y, y', y", etc., 



