2JO MÉMOIRE 



r*' 



supprimant donc et substituant cette valeur de / Edx 



dans lequation dV = o, commune au maximum et au mi- 

 nimum, on aura simplement 



V,dx t + (P r — Q,'-h etc.) si + (Q, — etc.) e,' + etc. 

 -V dx — (P„ — Q '-t-etc.)e — (Q — etc.)e.'— etc. = o. 



Observons, enfin, que si l'on représente par dy, dy\dy'\ 

 etc. , les différentielles complètes de y, y' , y'\ etc. , par rap- 

 port à x et aux quantités a; , .r, , j„ , j, , etc., on aura 



dy=y'dx + s, dy'=y"dx ■+■ e', etc. 

 Pour les valeurs particulières x = x et x = x,, nous aurons 

 donc 



s o = d r „ — y; dx„ , e„' = dyj — y" dx a , etc. , 

 £ , == dj, — y<dx, , £,' = dy' — y," dx, , etc. ; 



et si l'on substitue ces valeurs dans l'équation précédente , 

 elle prendra la même forme et devra être traitée de la même 

 manière que l'équation r = o , dont elle ne différera qu'en ce 

 que les accroissements de x , x,,y ,y, , etc. , sont représentés 

 dans l'une par £a; , Sx,, £>•„, Sy,, etc., et dans l'autre par 

 dx , dx, , dy a , dy, , etc. 



(7) Les méthodes qu'on vient d'exposer s'étendront sans dif- 

 ficulté au cas où l'intégrale que l'on considère dépend de 

 plusieurs inconnues. Soient y et z deux fonctions incon- 

 nues de la variable indépendante x, et V une fonction donnée 

 de x , y, y', y", etc. , z, z',z'\ etc. Considérons, comme pré- 

 cédemment, l'intégrale 



U=/ Ydx. 



