SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 255 



en égalant dans ses deux membres, les coefficients de èx, 

 Sy, $z. La troisième de ces équations résulte aussi de l'éli- 

 mination de G entre les deux premières, et elle exprime la 

 relation entre H et K qu'il s'agissait d'obtenir. 



Dans le cas général, où V est une fonction quelconque de 

 x > J> }' i y "i et c , z, z , z", etc. , si l'on regarde x comme une 

 fonction implicite d'une autre variable indépendante u, que 

 l'on remplace, en conséquence, j',j", etc., z , z", etc., par 



ZL x 'r"~/x " i z' x'z"—z'a:" 



**' ^3 1 etC -' ^7> ^3 » etC -l 



et Ydx par V x 'du, et que l'on désigne relativement à x . 

 x' ,x" , etc., par X la quantité analogue à H et K, on trou- 

 vera que ces trois quantités sont liées entre elles par l'équa- 

 tion identique : 



Xx +Ey''+Kz'=o. (7) 



Réciproquement, lorsqu'une fonction donnée de x, x', x'\ 

 etc ijy j'0'"t etc - i z > z' -, z", etc., satisfera à cette équation > 

 elle sera réductible à la forme V x ; en sorte que sans en 

 changer la valeur, on y pourra faire x'= i , x"=o, etc., et 

 y regarder y et z comme des fonctions de x. 



Pour déterminer x,y, z, en fonctions de u, parla condi- 

 tion du maximum ou du minimum de U, on aura les trois 

 équations 



X=o, H = o, K = o; 



mais comme u n'entre pas dans V, et qu'il n'y a réellement 

 que les deux inconnues y et z à déterminer en fonctions 

 de x, \\ est évident, à priori, que ces trois équations doi- 

 vent se réduire à deux; et, en effet, l'une d'elles est la suite 



