SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. u5y 



réduira ensuite, par le procédé de l'intégration par partie, 



SU à la forme 



- I X iùdx , 



C étant une constante et X une quantité indépendante de u : 

 les équations différentielles d'où dépendront les valeurs de y 

 et z, relatives au maximum ou au minimum de U, seront 

 alors X = o et L = o. Mais on peut éviter l'intégration de 

 l'équation (8), qui ne serait possible que dans des cas très- 

 particuliers, et parvenir , d'une autre manière, à trois équa- 

 tions différentielles entre jet z, et une inconnue auxiliaire. 

 En effet, en ayant égard à l'équation dV = o et aux ex- 

 pressions de 8y('"> et £z (,) , la valeur de à V dun° 7 deviendra 



SV = No)+ Pu+Qu'+etc. -+- n<p + py + qy"+ etc., 



et sans altérer cette valeur, on y peut ajouter le premier 

 membre de l'équation (8), multiplié par un facteur quel- 

 conque X; ce qui donne 



S V = (N + X a)u -*- (P + â6)m' + (Q + Xy) «" + etc. 



+ (ra-+-X(t)ç-4-(/? + Xv)9'-J- (# + X tf ) <p" -+- etc. 



Cela étant, l'expression de S U se réduira à la forme 



SU: 



A-h/ (Eo> + Fy)dx; 



A, E, F, étant des quantités qui se déduiront de r, H, 

 K, par le changement de N, P,Q, etc., n,p, q, etc. , en 

 N+Xa, P-t-Xê, Q + Xy, etc., ra + Xj;., /7 + Xv, q + lxS, etc. 

 Or, l'introduction du facteur indéterminé X , permettra de 

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