SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 25g 



prendra toutes les questions relatives au maximum ou au 

 minimum absolu d'une intégrale relative à une seule variable 

 indépendante. Il est facile d'en faire l'application aux diffé- 

 rents cas qu'Euler avait déjà traités, par d'autres moyens, 

 dans le Methodus inveniendi , etc. Ainsi , en désignant par t, 

 une fonction donnée de x, y, y', y"-, etc., et prenant suc- 

 cessivement 



L = z'— f, L = z" — t, h=z" — t, etc., 



on aura les cas où V renferme une intégrale indéfinie, sim- 

 ple, double, triple, etc., savoir : 



ttdx, I ltdx\ III tdx*, etc. 



En désignant par <r une seconde fonction donnée de x,y, 

 y , y", etc., et prenant 



L = z' -t- tz — g, 



on aura le cas où Y contient une quantité donnée par une 

 équation linéaire du premier ordre ; ce qui comprend, comme 

 on sait, le problème de la brachystochrone dans un milieu 

 résistant suivant la loi du carré de la vitesse. 



Si l'on prend z = t, ce qui répond à L = z — t, on aura 

 p.= i, v = o, Trf = o, etc., et la seconde équation (g) de- 

 viendra 



\ = — n+p' — q"+ etc. 



Mais, dans ce cas , V sera une fonction donnée de x, y, y', y"-, 

 etc., t, t' , ?", etc., réductible à une autre fonction de x, y, 

 y', y", etc. , puisque!, et par suite, t', t'\ etc., sont, par hy- 

 pothèse, des fonctions données de ces premières quantités; 



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