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ce cas ne différera donc pas de celui du n° 5 dans lequel la 

 valeur de y, relative au maximum et au minimum de U, 

 est donnée par l'équation (4)î P ar conséquent si l'on sub- 

 stitue la valeur précédente del dans la première équation (8), 

 on devra retrouver cette équation (4), laquelle se présentera 

 ainsi sous une infinité de formes différentes, à cause de 

 l'indétermination de la fonction t. Ces transformations de 

 l'équation (4) pourront contribuer, dans des problèmes 

 particuliers, à en faire découvrir une intégrale première, ou 

 même une intégrale d'un ordre supérieur. 



(io) La quantité V étant une fonction donnée de x,y, 

 y'*y'i y"i etc., si V dx est une différentielle exacte, sans 

 qu'on soit obligé d'établir aucune relation déterminée entre 

 x et y, l'intégrale définie U sera une fonction des quantités 

 x e ,y o ,y ', yj\ etc., x,, y, , y,', y,", etc., relatives à ses deux 

 limites, qui ne contiendra plus aucun signe d'intégration. 

 La variation à U donnée par la formule (3) , devra donc se ré- 

 duire à sa partie r; et, pour cela, il faudra que le facteur H, 



compris sous le signe /, soit identiquement nul. Ainsi, la 



même équation H = o, qui détermine la valeur de y relative 

 au maximum ou au minimum de U, lorsque Vdx n'est pas 

 une différentielle exacte , doit devenir identique, quand V dx 

 sera une différentielle exacte. Cette remarque est due à 

 Euler qui a ainsi exprimé, le premier, par une équation, 

 la condition nécessaire à l'intégrabilité d'une formule diffé- 

 rentielle d'un ordre quelconque. Dans la 21 e leçon sur le 

 calcul des fonctions, Lagrange a prouvé, par la considéra- 

 tion de séries très-compliquées (*), que non-seulement l'équa- 



(*) Page 4°9> édition de 1806. 



